Insegnamento MATEMATICA GENERALE
| Nome del corso | Economia aziendale |
|---|---|
| Codice insegnamento | 2002109 |
| Sede | PERUGIA |
| Curriculum | Comune a tutti i curricula |
| CFU | 9 |
| Regolamento | Coorte 2019 |
| Erogato | Erogato nel 2019/20 |
| Erogato altro regolamento | |
| Attività | Base |
| Ambito | Statistico-matematico |
| Settore | SECS-S/06 |
| Tipo insegnamento | Obbligatorio (Required) |
| Tipo attività | Attività formativa monodisciplinare |
| Suddivisione |
MATEMATICA GENERALE - Cognomi A-L
| Codice | 2002109 |
|---|---|
| Sede | PERUGIA |
| CFU | 9 |
| Docente responsabile | Mauro Pagliacci |
| Docenti |
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| Ore |
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| Attività | Base |
| Ambito | Statistico-matematico |
| Settore | SECS-S/06 |
| Tipo insegnamento | Obbligatorio (Required) |
| Lingua insegnamento | ITALIANO |
| Contenuti | 1. PARTE INTRODUTTIVA – La Matematica come metodo e come strumento. Richiami di teoria degli insiemi. Operazioni tra insiemi. Funzioni tra insiemi. Insiemi di numeri: numeri naturali, interi, razionali e reali. Struttura algebrica e struttura d’ordine di R. Insiemi densi e completi. Estremo superiore ed estremo inferiore. Intorni. Punti di accumulazione. Punti isolati, interni, esterni e di frontiera. Non numerabilità di R. Insiemi finiti ed infiniti. Cenni sui numeri complessi e sul teorema fondamentale dell'Algebra. 2. FUNZIONI ELEMENTARI – Funzioni reali di variabile reale e loro grafico. Successioni. Equazioni e disequazioni. L'equazione cartesiana della retta e della circonferenza. Grafici di funzioni elementari e loro trasformazioni nel piano: la retta, la parabola e l'iperbole e la funzione radice quadrata e radice cubica, le funzioni potenza, la funzione esponenziale e la funzione logaritmica, cenni sulle funzioni trigonometriche: proprietà e relazioni; risoluzione dei triangoli rettangoli. Funzioni pari e dispari. Funzioni limitate. Funzioni composte. Funzione inversa. Funzioni monotòne. Punti di massimo e di minimo. Funzioni convesse e concave. Epigrafico di una funzione. 3. LIMITI DI FUNZIONI E DI SUCCESSIONI. FUNZIONI CONTINUE – Definizione intuitiva di limite per funzioni e per successioni. Funzioni continue. Calcolo di limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Discontinuità di prima e seconda specie. Discontinuità eliminabile. Teoremi sulle funzioni continue. Infinitesimi ed infiniti. 4. ELEMENTI DI CALCOLO DIFFERENZIALE E OTTIMIZZAZIONE – Definizione di derivata. Derivata destra e derivata sinistra. Significato geometrico. Legami tra continuità e derivabilità. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione. Derivata logaritmica. Derivate di ordine superiore al primo. Funzioni differenziabili. Elasticità di una funzione. Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy. Teoremi di de l'Hôpital. Formula di Taylor. Funzioni crescenti e decrescenti. Punti di massimo e di minimo. Funzioni convesse e concave. Punti di flesso. Asintoti. Studio di funzioni. 5. CENNI SUGLI INTEGRALI – L'integrale definito e le sue proprietà. Teorema del valor medio. Primitive di una funzione. Teorema fondamentale del calcolo integrale e conseguenze. L'integrale indefinito. 6. ALGEBRA LINEARE – Lo spazio vettoriale Rn. Operazioni tra vettori. Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. Matrici. Operazioni tra matrici. Determinante di una matrice quadrata. Caratteristica di una matrice. Sistemi lineari. 7. CENNI SULLE FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI – Funzioni di più variabili. Grafico di funzioni di due variabili. Curve di livello. Derivate parziali e loro significato geometrico. Massimi e minimi liberi e vincolati. |
| Testi di riferimento | P. BOIERI – G. CHITI, Precorso di matematica, Zanichelli, Bologna, 1994 (per i punti 1. e 2.) L. PECCATI, S. SALSA, A. SQUELLATI, Matematica per l'Economia e l'Azienda, Egea 2018 (per i punti 3., 4., 5., 6., 7.). |
| Obiettivi formativi | Mettere in grado gli studenti di usare lo strumento matematico nelle applicazioni di carattere aziendale, economico, finanziario e statistico. |
| Prerequisiti | Non ci sono perquisisti. Gli argomenti necessari per la comprensione del corso già studiati nella scuola superiore vengono comunque trattati nella parte propedeutica del corso |
| Metodi didattici | Lezioni propedeutiche, lezioni, esercitazioni a attività di tutorato |
| Altre informazioni | Il superamento del corso permette l’acquisizione di 9 crediti. Alcuni argomenti, essendo già noti agli studenti perché trattati in tutte le scuole secondarie superiori, sono ritenuti propedeutici al corso. Per completezza e organicità gli argomenti propedeutici saranno di nuovo trattati durante le lezioni. Pertanto le ore complessive del corso saranno superiori a quelle previste dal numero di crediti attribuiti alla disciplina e saranno articolate nel seguente modo: • 73 ore di lezione (di cui 10 per la parte propedeutica) • 24 ore di esercitazioni • 12 ore di attività di supporto alla didattica e di recupero (non contribuiscono al computo dei crediti) |
| Modalità di verifica dell'apprendimento | Esame scritto con possibilità di svolgimento anche dell'orale. Sarà svolta una prova intermedia ed una prova di completamento. |
| Programma esteso | Presentazione e introduzione al corso. Modalità di organizzazione del corso e regole per il superamento dell'esame. La matematica come metodo e come strumento. Assiomi e teoremi. Il metodo ipotetico deduttivo. Modellizzazione e formalizzazione di contratti. Notazioni e operazioni tra insiemi. Unione e intersezione tra insiemi Differenza tra insiemi e prodotto cartesiano. Insiemi di numeri: i numeri naturali e la loro struttura algebrica. I numeri interi e razionali e reali e la loro struttura algebrica. Insiemi densi e completi. Q e denso, R è completo. Sottoinsiemi di R: intervalli e semirette. L'asse reale e il piano cartesiano. Il concetto di funzione reale di variabile reale. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Il grafico di una funzione per punti. Proprietà geometriche delle funzioni iniettive e suriettive. Funzioni lineari. Equazioni e disequazioni di primo grado. Traslazioni del grafico di una funzione verso l’alto e verso il basso. Dal grafico di f(x) a quello di –f(x) Soluzione grafica di equazioni e disequazioni. Le funzioni quadratiche (casi particolari) e le relative equazioni e disequazioni di secondo grado. Funzioni pari e dispari. Traslazioni del grafico di una funzione a destra e a sinistra. Una generica funzione quadratica come traslata di una parabola con vertice nell’origine. Equazioni e disequazioni di secondo grado La funzione valore assoluto di un numero reale e le sue traslate. Dal grafico di f(x) a quello di |f(x)|. Equazioni e disequazioni con il modulo. Funzioni del tipo ax^3. Funzioni del tipo ax^3 e loro traslate. Esempi ed esercizi Cenni al teorema fondamentale dell’Algebra. Dal grafico di f(x) a quello di f(-x) e di f(|x|). Le funzioni del tipo a/x e le loro traslate. Richiami sulle equazioni e disequazioni fratte e sulla divisione tra polinomi. Il grafico di una generica funzione del tipo (ax+b)/(cx+d) come traslata di una iperbole equilatera. La funzione radice di x e le sue traslate. Alcune equazioni e disequazioni irrazionali. Le funzioni del tipo x^a. Le potenze con esponente razionale. Funzioni esponenziali e loro traslate. Il logaritmo come soluzione dell’equazione esponenziale. Proprietà dei logaritmi; cambiamento di base. La funzione logaritmica. Traslate delle funzioni logaritmiche. Alcune equazioni e disequazioni logaritmiche ed esponenziali. Dilatate e traslate delle funzioni logaritmiche. Alcune equazioni e disequazioni logaritmiche ed esponenziali. Funzioni composte. Funzioni inverse. La funzione radice come inversa della quadratica e la funzione logaritmo come inversa della esponenziale (e viceversa). Dal grafico di f a quello di f-1. Funzioni monotone: crescenti, decrescenti, non crescenti e non decrescenti. Intorni di un punto. Punti di massimo e di minimo locali ed assoluti. Maggioranti, minoranti, estremo superiore e inferiore di un sottoinsieme di R. Esercizi sulle traslazioni di funzioni elementari Successioni. Insiemi limitati. Funzioni limitate. Punti di accumulazione e punti isolati. Limiti di funzioni: definizione intuitiva e rigorosa. Limiti di funzioni: casi particolari (aspetti geometrici e def di limite). Ancora casi particolari. Limite destro e limite sinistro. Teorema di unicità del limite. Operazioni tra limiti. Forme indeterminate. Calcolo di limiti di funzioni. Esercizi sul calcolo dei limiti. Esercizi sulle traslazioni di funzioni elementari e sul dominio, zeri e segno di funzioni Limiti di successioni. Limite della successione geometrica. Limiti di successioni monotone. Teorema del limite del prodotto tra una funzione limitata e una tendente a zero. Il numero di Nepero come limite di una successione. Esercizi sui limiti di successioni Teorema del confronto. Infinitesimi e infiniti. Confronto tra infiniti. Teorema di cancellazione per infiniti (con dim.). Calcolo di domini, zeri e segno di funzioni e di limiti di successionii Infinitesimi e infiniti. Confronto tra infiniti. Teorema di cancellazione per infiniti (con dim.). Confronto tra infinitesimi. Teorema di cancellazione per infinitesimi. Funzioni continue. Continuità a destra e a sinistra. Continuità delle funzioni elementari. La funzione parte intera di un numero reale x. Esercizi di preparazione alla prova intermedia Esercizi di preparazione alla prova intermedia Esercizi di preparazione alla prova intermedia Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Incrementi assoluti e relativi. Rapporto incrementale. Significato geometrico del rapporto incrementale. Funzioni derivabili in un punto. Derivata prima. Significato geometrico della derivata prima. Derivata destra e sinistra. La funzione derivata prima. Ogni funzione derivabile è continua (con dim.). Vari casi di funzioni continue, ma non derivabili. Calcolo di derivate di funzioni elementari. Calcolo di derivate di funzioni elementari e algebra delle derivate. Derivate delle funzioni composte. Calcolo di derivate. Funzioni differenziabili. Calcolo di derivate. Equivalenza tra differenziabilità e derivabilità (con dim.). Il differenziale e il suo significato geometrico. Uso del differenziale nel calcolo approssimato Elasticità d’arco ed elasticità puntuale. Elasticità della funzione domanda e della funzione costo. Introduzione all’ottimizzazione. Teorema di Fermat (con dim.). Teorema di Lagrange (o del valor medio). Conseguenze del teorema di Lagrange. Il teorema di Rolle. Ogni funzione con derivata nulla è costante (con dim.) Test di monotonia (con dim.). Esercizi. sul test di monotonia. Ancora esercizi sul test di monotonia. Teorema di de l’Hospital. Esercizi sul calcolo di derivate, sul differenziale e sul test di monotonia. Ordine di infinito e di infinitesimo dell’esponenziale e del logaritmo. Derivate successive. Formula di Taylor e di Mc Laurin. Uso della formula di Taylor nel calcolo approssimato. Grafico di e^x e dei polinomi di Taylor che la approssimano. Insiemi convessi e funzioni convesse. Test per la convessità. Esempi di determinazione della convessità. Primitive di una funzione. Due primitive di una stessa funzione differiscono per una costante (con dim.). Integrale indefinito. Calcolo di integrali indefiniti immediati. Integrazione per decomposizione. Integrazione per sostituzione. Calcolo di integrali indefiniti. Esercizi sullo studio di funzioni e sulla formula di Taylor Integrazione per parti. Calcolo di integrali indefiniti. Integrale definito. Funzioni integrabili. Proprietà dell’integrale definito. Teorema della media (con dim.). Funzione integrale. Teorema di Torricelli Barrow (con dim.) e Teorema fondamentale del calcolo integrale (con dim.). Calcolo di integrali definiti. Calcolo di aree. Dal grafico di f’(x) al grafico di f(x). Introduzione all’algebra lineare. Vettori in R^n. Rappresentazione geometrica di vettori in R^2 e in R^3. Uguaglianza e ordinamento tra vettori. Somma tra vettori. Significato geometrico della somma tra vettori. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare e suo significato geometrico. Esercizi sullo studio di funzione e calcolo di integrali. Combinazioni lineari. Sottospazi vettoriali di R^2 e R^3. Prodotto scalare (o prodotto interno) tra vettori. L’insieme delle combinazioni lineari di k vettori è un sottospazio di R^n. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi e dimensioni di un sottospazio Matrici. Uguaglianza, matrici trasposte. Operazioni tra matrici: somma e prodotto per uno scalare. Prodotto tra matrici. Proprietà del prodotto tra matrici. Determinante di una matrice quadrata 2x2 e suo significato geometrico. Relazione tra dipendenza lineare e determinante. Determinante di una matrice 3x3. Calcolo del determinante con Excel. Esercizi su calcolo di integrali e di aree. Esercizi di preparazione alla prova scritta d’esame Rango di una matrice Sistemi lineari. Teorema di Rouché-Capelli (con dim.). Regola di Cramer. Risoluzione di un sistema lineare. Molteplicità delle soluzioni. Sistemi lineari omogenei. Esempi di risoluzione di sistemi lineari. Funzioni di più variabili. Grafico e curve di livello. Derivate parziali. Esercizi di algebra lineare Calcolo di derivate parziali. Intorni in R^2. Punti stazionari. Massimi e minimi liberi e vincolati per funzioni di due variabili. Funzioni di n variabili. |
MATEMATICA GENERALE - Cognomi M-Z
| Codice | 2002109 |
|---|---|
| Sede | PERUGIA |
| CFU | 9 |
| Docente responsabile | Davide Petturiti |
| Docenti |
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| Ore |
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| Attività | Base |
| Ambito | Statistico-matematico |
| Settore | SECS-S/06 |
| Tipo insegnamento | Obbligatorio (Required) |
| Lingua insegnamento | ITALIANO |
| Contenuti | 1. Parte introduttiva 2. Funzioni elementari 3. Limiti di funzioni e di successioni, funzioni continue 4. Elementi di calcolo differenziale e ottimizzazione 5. Cenni sugli integrali 6. Algebra lineare 7. Cenni sulle funzioni di più variabili |
| Testi di riferimento | P. BOIERI, G. CHITI, Precorso di matematica, Zanichelli, Bologna, 1994 (per i punti 1. e 2. del programma). L. PECCATI, S. SALSA, A. SQUELLATI, Matematica per l'Economia e l'Azienda, Egea, 2004 (per i punti 3., 4., 5., 6., 7. del programma). |
| Obiettivi formativi | Al termine del corso gli studenti avranno a disposizione e sapranno utilizzare i principali strumenti matematici, adatti alle applicazioni di carattere aziendale, economico, finanziario e statistico. |
| Prerequisiti | Le nozioni matematiche basilari, essendo già note agli studenti poiché trattate in tutte le scuole secondarie superiori, sono ritenute propedeutiche al corso. Per completezza e uniformità, gli argomenti propedeutici saranno di nuovo trattati durante le lezioni. |
| Metodi didattici | Il corso si articola in lezioni frontali ed esercitazioni. Alcuni argomenti, essendo già noti agli studenti perché trattati in tutte le scuole secondarie superiori, sono ritenuti propedeutici al corso. Per completezza e organicità gli argomenti propedeutici saranno di nuovo trattati durante le lezioni. Pertanto, le ore complessive del corso saranno superiori a quelle previste dal numero di crediti attribuiti alla disciplina e saranno articolate nel seguente modo: - 73 ore di lezione (di cui 10 per la parte propedeutica); - 24 ore di esercitazioni; - 12 ore di attività di supporto alla didattica e di recupero (non contribuiscono al computo dei crediti). |
| Altre informazioni | Oltre le ore di lezione ed esercitazione, sono previste ore di supporto alla didattica – finalizzate soprattutto alla preparazione alla prova scritta e al recupero di eventuali lacune – svolte sia in aula sia attraverso colloqui individuali. L’inizio di tale attività è previsto per l’inizio di ottobre. |
| Modalità di verifica dell'apprendimento | L’esame può essere svolto in due modalità alternative (a) e (b) di seguito riportate. In ogni caso, lo studente deve presentarsi alle prove munito di libretto universitario. (a) Modalità ordinaria: L'esame è articolato in una prova scritta, che comprende anche domande relative alla preparazione teorica, ed in una prova orale. E’ ammesso a sostenere la prova orale chi avrà riportato alla prova scritta una valutazione maggiore o uguale a 15/30. Il voto conseguito nella prova scritta può essere confermato, previo colloquio sulla correzione del compito, se la votazione riportata è compresa tra 18/30 e 26/30. Gli studenti che hanno conseguito alla prova scritta una votazione maggiore o uguale a 15/30 e minore o uguale a 17/30 e quelli che hanno conseguito una votazione maggiore o uguale a 27/30 devono sostenere la prova orale. Ogni studente che abbia superato la prova scritta può comunque sostenere la prova orale. Il colloquio o l’eventuale prova orale devono aver luogo entro febbraio, se la prova scritta è stata svolta negli appelli invernali (gennaio-febbraio) ed entro settembre se la prova scritta è stata svolta negli appelli estivi (giugno-luglio-settembre). Lo studente che non supera la prova scritta o orale, potrà ripresentarsi all’appello successivo. (b) Articolazione dell’esame in una prova intermedia e in una prova di completamento: Per gli studenti interessati, è prevista la possibilità di sostenere una prova scritta intermedia, che avrà luogo durante la pausa didattica, riguardante la prima parte del programma. Il superamento della prova intermedia consentirà l’accesso ad una prova scritta di completamento che si svolgerà durante il primo appello di esame di gennaio. La prova intermedia e quella di completamento sono uniche. Le prove sono superate se il voto riportato in ciascuna di esse è maggiore o uguale a 15/30. Gli studenti che non supereranno la prova intermedia o quella di completamento potranno sostenere l’esame, secondo le modalità in (a), nel primo appello utile. La prova intermedia e la successiva prova di completamento possono essere svolte anche dagli studenti degli anni successivi al primo. Gli studenti che superano le due prove scritte con valutazione media (arrotondata per eccesso) sufficiente (= 18/30), hanno la possibilità di non sostenere la prova orale, ottenendo come valutazione definitiva la media aritmetica tra le due prove scritte. Ogni studente che abbia superato le prove scritte (intermedia e di completamento), può comunque sostenere l’esame orale. Lo studente deve comunque sostenere la prova orale nei due seguenti casi: • se la media della prova intermedia e di quella di completamento è = 27/30; • se la media della prova intermedia e di quella di completamento è 15, 16 o 17. La prenotazione per sostenere la prova intermedia o l’esame scritto avviene per via telematica, nel sito www.segreterie.unipg.it. Il materiale didattico, le prove di esame degli appelli precedenti ed ulteriori informazioni sul corso sono reperibili al sito internet: http://www.ec.unipg.it/DEFS/matematica-generale.html. Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa |
| Programma esteso | 1. Parte introduttiva – La Matematica come metodo e come strumento. Richiami di teoria degli insiemi. Operazioni tra insiemi. Funzioni tra insiemi. Insiemi di numeri: numeri naturali, interi, razionali e reali. Struttura algebrica e struttura d’ordine di R. Insiemi densi e completi. Estremo superiore ed estremo inferiore. Intorni. Punti di accumulazione. Punti isolati, interni, esterni e di frontiera. Non numerabilità di R. Insiemi finiti ed infiniti. Cenni sui numeri complessi e sul teorema fondamentale dell'Algebra. 2. Funzioni elementari – Funzioni reali di variabile reale e loro grafico. Successioni. Equazioni e disequazioni. L'equazione cartesiana della retta e della circonferenza. Grafici di funzioni elementari e loro trasformazioni nel piano: la retta, la parabola e l'iperbole e la funzione radice quadrata e radice cubica, le funzioni potenza, la funzione esponenziale e la funzione logaritmica, cenni sulle funzioni trigonometriche: proprietà e relazioni; risoluzione dei triangoli rettangoli. Funzioni pari e dispari. Funzioni limitate. Funzioni composte. Funzione inversa. Funzioni monotòne. Punti di massimo e di minimo. Funzioni convesse e concave. Epigrafico di una funzione. 3. Limiti di funzioni e di successioni, funzioni continue – Definizione intuitiva di limite per funzioni e per successioni. Funzioni continue. Calcolo di limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Discontinuità di prima e seconda specie. Discontinuità eliminabile. Teoremi sulle funzioni continue. Infinitesimi ed infiniti. 4. Elementi di calcolo differenziale e ottimizzazione – Definizione di derivata. Derivata destra e derivata sinistra. Significato geometrico. Legami tra continuità e derivabilità. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione. Derivata logaritmica. Derivate di ordine superiore al primo. Funzioni differenziabili. Elasticità di una funzione. Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy. Teoremi di de l'Hôpital. Formula di Taylor. Funzioni crescenti e decrescenti. Punti di massimo e di minimo. Funzioni convesse e concave. Punti di flesso. Asintoti. Studio di funzioni. 5. Cenni sugli Integrali – L'integrale definito e le sue proprietà. Teorema del valor medio. Primitive di una funzione. Teorema fondamentale del calcolo integrale e conseguenze. L'integrale indefinito. 6. Algebra lineare – Lo spazio vettoriale Rn. Operazioni tra vettori. Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. Matrici. Operazioni tra matrici. Determinante di una matrice quadrata. Caratteristica di una matrice. Sistemi lineari. 7. Cenni sulle funzioni di più variabili – Funzioni di più variabili. Grafico di funzioni di due variabili. Curve di livello. Derivate parziali e loro significato geometrico. Massimi e minimi liberi e vincolati. |